В чем состоит разница и когда уместно применять то или иное название?

Народная точка зрения

В народной традиции принято называть близнецами тех детей, которые полностью совпадают между собой и половыми признаками, и внешними данными. Типичные примеры таких совпадений можно увидеть в известных комедиях «Я и моя тень», «Няньки» и «Мгновения Нью-Йорка».
Двойняшками обычно называют единоутробных братьев и сестер, которые не попадают под определение «двое из ларца одинаковых с лица». Такие дети могут быть даже разнополыми.
Но в таком случае остается открытым вопрос о тройняшках, четверняшках и прочих наборах абсолютно одинаковых близнецов. Их очень редко называют собственно близнецами, употребляя численное определение.
Поэтому можно сказать, что народная мудрость и традиции ответа на вопрос фактически не дают.

Мнение медиков

С точки зрения медицины такого определения, как двойняшки, не существует. Существует термин «многоплодная беременность», который включает понятия однояйцевых и разнояйцевых близнецов.
Однояйцевые — это те, которые получились в результате деления одной оплодотворенной яйцеклетки на 2 и более зародышей. Такой процесс по сути является естественным клонированием. Поэтому дети от такой беременности получаются одного пола и практически неразличимы внешне.
Разнояйцевые близнецы происходят от разных яйцеклеток, каждая из которых встретилась с собственным отдельным сперматозоидом. Внешность и пол таких детей может отличаться. В итоге могут родиться 2,3,4 и более детей, среди которых могут быть как мальчики, так и девочки. Одни будут похожи на мать, другие на отца, а третьи — сочетать в себе черты обоих родителей или даже бабушек и дедушек.
Все эти варианты являются близнецами с медицинской точки зрения. Дополнительным комментарием к записи в обменной карте о многоплодной беременности и родах будут только численные указания — двойня, тройня и т. д.
Медицинское мнение можно считать более авторитетным в этом вопросе. С этой точки зрения к любым детям, рожденным матерью от одной беременности могут в равной степени применяться оба термина.

Филологический взгляд

Близнецы Якутии. Инстаподборка News.Ykt.Ru

Филология говорит, что единственным определением касательно статуса таких братьев и сестер является слово «близнецы». В противоположность сиблингам — братьям и сестрам, рожденным от разных беременностей.
Близнецы в этом случае — существительное, определяющее что дети рождены от одной беременности одной матерью. Двойняшки, тройняшки и прочие уточнения — всего лишь числительное, указывающее сколько детей на тот момент выносила мать.

Резюме

Учитывая все мнения, можно смело сказать, что никаких различий между близнецами и двойняшками в отношении уместности использования этих определений не существует. Близнецы могут родиться в двойне, тройне, четверне и т. д. Различия состоят только в том, однояйцевые они или разнояйцевые. Но это заметно внешне и без всяких уточнений.